3点O(0,0), A(a,e), B(c,d)を結んでできる三角形の面積が $S = \frac{1}{2} |ad - ec|$ で表されることの途中式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点O(0,0), A(a,e), B(c,d)を結んでできる三角形の面積が $S = \frac{1}{2} |ad - ec|$ で表されることの途中式を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角形OABの面積を求めるには、ベクトルを利用する方法が一般的です。

ベクトルOAを$\vec{OA}$、ベクトルOBを$\vec{OB}$とします。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} a \\ e \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$

三角形OABの面積Sは、ベクトルの外積を用いると次のようになります。

$S = \frac{1}{2} | \vec{OA} \times \vec{OB} |$

ここで、2次元ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ と $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ の外積の絶対値は、$|x_1y_2 - x_2y_1|$ で与えられます。

したがって、

$S = \frac{1}{2} | ad - ec |$

これは、問題文に与えられた面積の式と一致します。

3. 最終的な答え

途中式は以下の通りです。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} a \\ e \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$

$S = \frac{1}{2} | \vec{OA} \times \vec{OB} |$

$S = \frac{1}{2} | ad - ec |$