$AB = AC$, $BC = 2$ である三角形ABCにおいて、内積$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$を求めよ。

1. 問題の内容

$AB = AC$, $BC = 2$ である三角形ABCにおいて、内積$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$AB = AC = x$ とおく。

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$の内積の定義より、

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}| \cos{\angle ABC} = x \cdot 2 \cdot \cos{\angle ABC} = 2x \cos{\angle ABC}$

次に、$\triangle ABC$において余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$x^2 = x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2 \cdot \cos{\angle ABC}$

$0 = 4 - 4x \cos{\angle ABC}$

$4x \cos{\angle ABC} = 4$

$x \cos{\angle ABC} = 1$

したがって、$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2x \cos{\angle ABC} = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2$