正の整数 $x, y$ が $x \le y$ かつ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。

1. 問題の内容

正の整数 $x, y$ が $x \le y$ かつ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ を変形する。

両辺に $2xy$ をかけると、

$2y + 2x = xy$

$xy - 2x - 2y = 0$

両辺に $4$ を加えると、

$xy - 2x - 2y + 4 = 4$

$(x - 2)(y - 2) = 4$

$x, y$ は正の整数であり、$x \le y$ であるから、$x-2$ と $y-2$ は整数の組となる。

$x-2$ と $y-2$ の組み合わせは以下の通り。

$(x-2, y-2) = (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1)$

したがって、

$(x, y) = (3, 6), (4, 4), (6, 3), (1, -2), (0, 0), (-2, 1)$

ここで、$x, y$ は正の整数であるから、$(x, y) = (3, 6), (4, 4), (6, 3)$ となる。

さらに、$x \le y$ の条件を満たすものを選択すると、

$(x, y) = (3, 6), (4, 4)$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (3, 6), (4, 4)$