(1) 正四角錐の5つの面を、5色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。 (2) 立方体の6つの面を、6色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 正四角錐の5つの面を、5色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。

(2) 立方体の6つの面を、6色の絵の具をすべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

正四角錐の底面は1つ、側面は4つです。

まず、底面の色を決めます。これは5色の中から1色を選ぶので、5通りです。

次に、側面の色を決めます。側面は4つあり、残りの4色を円順列で並べることになります。

円順列の場合、(n-1)!通りの並べ方があります。この場合、(4-1)! = 3! = 6通りです。

したがって、正四角錐の塗り分け方は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(2)

立方体は、上面と下面、側面が4つあります。

まず、上面の色を6色から1色選びます。6通りです。

次に、下面の色を、残りの5色から1色選びます。5通りです。

そして、側面の4つの面を、残りの4色で円順列のように塗ります。これは (4-1)! = 3! = 6通りです。

ただし、立方体の場合、上面と下面を決めた後、側面を回転させると同じ塗り方になる場合があるので、注意が必要です。

上面と下面の色を決めた時点で、上下を反転させても同じ塗り方になるので、2で割る必要があります。しかし、回転対称性により、側面の円順列は単純に (4-1)! で計算できます。

したがって、立方体の塗り分け方は $6 \times 5 \times 3! /4 = 30$ 通りではありません。

まずは向かい合う面を考えます。6色の中から2色を選び、向かい合う面に塗る方法は $_6C_2$ 通りです。このとき、上面と下面を固定したと考えると、その塗り方は $6 \times 5 / 2 = 15$通り。

残りの4つの側面は、4色で円順列を作ることになります。これは $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

しかし、向かい合う面が同じ色の場合、側面を回転することで同じ塗り方になる場合があるので、注意が必要です。

立方体を空間内で自由に回転できることを考慮すると、少し複雑になります。

立方体の塗り分け問題は、回転群を考える必要があります。

まず、1つの面を固定します。6通りの選び方があります。

次に、その向かい側の面の色を決めます。残りの5通りの選び方があります。

残りの4つの側面は、残りの4色を使って塗ります。この4つの側面は円順列になっているので、(4-1)! = 3! = 6通りの塗り方があります。

しかし、側面を回転させると同じ塗り方になる場合があります。

立方体の対称性を考慮すると、$6 \times 5 \times (4-1)! / 4=30$ではありません。

$6 \times 5 \times 6$ を $24$で割る必要があるわけではありません。正しくは、$30$です。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 30通り