三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。 $\vec{OP} = \frac{1}{2 \ 3} \vec{OA} + \frac{4}{5} \vec{OB}$ OPとABの交点をQとするとき、AQ:QB = 6 : 7 また、面積について、$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = 8 : 9 : 10$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。

$\vec{OP} = \frac{1}{2 \ 3} \vec{OA} + \frac{4}{5} \vec{OB}$

OPとABの交点をQとするとき、AQ:QB = 6 : 7

また、面積について、$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = 8 : 9 : 10$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OP}$を求める。

点Pは線分AD上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{OA} + s\frac{2}{3}\vec{OB}$ ...(1)

点Pは線分BC上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{1}{4}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$ ...(2)

(1),(2)より、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{4}t$ ...(3)

$\frac{2}{3}s = 1-t$ ...(4)

(3)より、$t = 4(1-s)$

(4)に代入して、$\frac{2}{3}s = 1 - 4(1-s) = 1-4+4s$

$\frac{2}{3}s - 4s = -3$

$\frac{2-12}{3}s = -3$

$-\frac{10}{3}s = -3$

$s = \frac{9}{10}$

(1)に代入して、

$\vec{OP} = (1-\frac{9}{10})\vec{OA} + \frac{9}{10}\frac{2}{3}\vec{OB} = \frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

$\frac{1}{2 \ 3} = \frac{1}{10}$ 、 $\frac{4}{5} = \frac{3}{5}$

(2) AQ:QBを求める。

点Qは直線OP上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = \frac{k}{10}\vec{OA} + \frac{3k}{5}\vec{OB}$

点Qは直線AB上にあるので、実数$l$を用いて

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$\frac{k}{10} = 1-l$

$\frac{3k}{5} = l$

$\frac{k}{10} = 1 - \frac{3k}{5}$

$k = 10 - 6k$

$7k = 10$

$k = \frac{10}{7}$

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB}$

$l = \frac{3k}{5} = \frac{3}{5}\frac{10}{7} = \frac{6}{7}$

$\vec{OQ} = (1-\frac{6}{7})\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}$

点QはABを$6:1$に内分するので、$AQ:QB = 6:1$

6 : 7 = 6 : 1

(3) $\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO$を求める。

$\vec{OP} = \frac{1}{10}\vec{OA} + \frac{6}{10}\vec{OB}$

$\triangle OPA = \frac{6}{10} \triangle OAB$

$\triangle OPB = \frac{1}{10} \triangle OAB$

$\triangle APB = (1 - \frac{1}{10} - \frac{6}{10}) \triangle OAB = \frac{3}{10} \triangle OAB$

$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = \frac{6}{10} : \frac{3}{10} : \frac{1}{10} = 6:3:1$

8 : 9 : 10 = 6 : 3 : 1

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{10} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}$

AQ:QB = 6:1

$\triangle POA : \triangle PAB : \triangle PBO = 6:3:1$