三角形ABCにおいて、線分AP, BQ, CRは一点で交わっている。BP = x, PC = y, AR = 4, RB = 3, BQ = 2, QC = 4 であるとき、$x:y$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分AP, BQ, CRは一点で交わっている。BP = x, PC = y, AR = 4, RB = 3, BQ = 2, QC = 4 であるとき、$x:y$を求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理を用いる。チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つ。

問題文より、$AR = 4, RB = 3, BP = x, PC = y, CQ = 4, QA = 2$ であるので、

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{4}{2} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x}{y} \cdot 2 = 1$

$\frac{8}{3} \cdot \frac{x}{y} = 1$

$\frac{x}{y} = \frac{3}{8}$

よって、$x:y = 3:8$

3. 最終的な答え

$x:y = 3:8$