2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

$ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ であるということは、$ax^2 + 5x + b = 0$ の解が $x = 2$ と $x = 3$ であることを意味する。

また、$2 < x < 3$ が $ax^2 + 5x + b > 0$ の解であるためには、$a < 0$ である必要がある。

2つの解が $2$ と $3$ であることから、$ax^2 + 5x + b = 0$ は $a(x-2)(x-3) = 0$ と表せる。

これを展開すると、

$a(x^2 - 5x + 6) = 0$

$ax^2 - 5ax + 6a = 0$

$ax^2 + 5x + b = 0$ と $ax^2 - 5ax + 6a = 0$ の係数を比較する。

$x$ の係数を比較すると、

$5 = -5a$

$a = -1$

定数項を比較すると、

$b = 6a$

$b = 6(-1)$

$b = -6$

したがって、$a = -1$ かつ $b = -6$ である。

$ax^2 + 5x + b > 0$ に $a = -1$ と $b = -6$ を代入すると、

$-x^2 + 5x - 6 > 0$

$x^2 - 5x + 6 < 0$

$(x-2)(x-3) < 0$

$2 < x < 3$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -6$