$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ …① について、以下の条件を満たす $m$ の範囲を求める問題です。 (1) 方程式①が異なる2つの正の解をもつ。 (2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつ。 (3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつ。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ …① について、以下の条件を満たす $m$ の範囲を求める問題です。

(1) 方程式①が異なる2つの正の解をもつ。

(2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつ。

(3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12$ とおきます。

(1) 方程式①が異なる2つの正の解をもつ条件は、

* 判別式 $D > 0$

* 軸 $- (m+2) > 0$

* $f(0) > 0$

を満たすことです。

$D/4 = (m+2)^2 - (2m+12) = m^2 + 4m + 4 - 2m - 12 = m^2 + 2m - 8 = (m+4)(m-2) > 0$

より、$m < -4$ または $m > 2$。

$-(m+2) > 0$ より、$m < -2$。

$f(0) = 2m + 12 > 0$ より、$m > -6$。

これらをすべて満たす $m$ の範囲は、$-6 < m < -4$ または $2 < m < -2$。

したがって、$2 < m < -4$は成り立たないので、$-6<m<-4$は間違いです。

すべての条件を満たすのは $-6 < m < -4$ または $2 < m < -2$ です。 $-6<m<-4$の場合も確認する必要があります。

$m=-5$の場合、方程式は$x^2 - 6x + 2 = 0$となり、$x = 3 \pm \sqrt{7}$でどちらも正の解を持つのでOKです。

したがって、$m$ の範囲は $-6 < m < -4$ または $2 < m < -2$となります。$2<m<-2$は明らかに矛盾しているので、$2 > -2$となり解なしです。よって$-6<m<-4$のみが条件を満たします。

(2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつ条件は、$f(2) < 0$ を満たすことです。

$f(2) = 4 + 4(m+2) + 2m + 12 = 4 + 4m + 8 + 2m + 12 = 6m + 24 < 0$

より、$6m < -24$ なので、$m < -4$。

(3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつ条件は、$f(1) > 0$ かつ $f(2) < 0$ かつ $f(3) > 0$ を満たすことです。

$f(1) = 1 + 2(m+2) + 2m + 12 = 1 + 2m + 4 + 2m + 12 = 4m + 17 > 0$ より、$m > -\frac{17}{4}$。

$f(2) = 6m + 24 < 0$ より、$m < -4$。

$f(3) = 9 + 6(m+2) + 2m + 12 = 9 + 6m + 12 + 2m + 12 = 8m + 33 > 0$ より、$m > -\frac{33}{8}$。

$-\frac{33}{8} < m < -4$ より、$-\frac{33}{8} < m < -4$。

$-\frac{33}{8} = -4.125$, $-4 = -4$ より $-\frac{33}{8}<m<-4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-6 < m < -4$

(2) $m < -4$

(3) $-\frac{33}{8} < m < -4$

$\frac{-33}{8} < m < -4$

キクケ=-33, コ=8, サシ=-4

$-\frac{33}{8}<m<-4$

最終的な答え

1. 問題の内容

$m$を定数とする。2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$…①について、以下の条件を満たす$m$の範囲を求める。

(1) 方程式①が異なる2つの正の解をもつ。

(2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつ。

(3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつ。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12$とおく。

(1)

・判別式 $D > 0$

$D/4 = (m+2)^2 - (2m+12) = m^2 + 2m - 8 = (m+4)(m-2) > 0$

$m<-4, 2<m$

・軸$-(m+2) > 0$

$m<-2$

・$f(0) > 0$

$f(0) = 2m+12>0$

$m>-6$

以上より $-6 < m < -4$

(2)

$f(2) < 0$

$f(2) = 4 + 4(m+2) + 2m + 12 = 6m+24 < 0$

$m < -4$

(3)

$f(1) > 0$

$f(2) < 0$

$f(3) > 0$

$f(1) = 1 + 2(m+2) + 2m + 12 = 4m + 17 > 0$

$m > -17/4 = -4.25$

$f(2) = 6m + 24 < 0$

$m < -4$

$f(3) = 9 + 6(m+2) + 2m + 12 = 8m+33 > 0$

$m > -33/8 = -4.125$

以上より、 $-33/8 < m < -4$

3. 最終的な答え

(1) $-6 < m < -4$

(2) $m < -4$

(3) $-\frac{33}{8} < m < -4$