問題は次の3つの式を計算することです。 (1) $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は次の3つの式を計算することです。

(1) $\frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行います。 まず、$1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$に$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$をかけます。すると、

$(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})(1+\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 = 2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4}$

(2) 分母の有理化を行います。 まず、$\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$に$\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$をかけます。すると、

$(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 - 2 = 6 + 2\sqrt{15}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + 3 + 2 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6+2\sqrt{15}} = \frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6+2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}}$

さらに有理化を行います。$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}} = \frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{15 - 5\sqrt{15} + 3\sqrt{15} - 15 + 3\sqrt{10} - \sqrt{150} + 3\sqrt{6} - \sqrt{90}}{9 - 15} = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

(3) それぞれの分数を有理化してから足し合わせます。まず、

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} + \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{2 + 2\sqrt{10} + 5 - 7} + \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{2 - 2\sqrt{10} + 5 - 7} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{2\sqrt{10}} + \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})^2}{-2\sqrt{10}} = \frac{2 + 5 + 7 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35} - (2 + 5 + 7 - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35})}{2\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10} + 4\sqrt{14}}{2\sqrt{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{14}{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{7}{5}} = 2 + \frac{2\sqrt{35}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

(3) $2 + \frac{2\sqrt{35}}{5}$