$x+y=5$、$xy=3$のとき、$\frac{y}{x^3} + \frac{x}{y^3}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x+y=5$、$xy=3$のとき、$\frac{y}{x^3} + \frac{x}{y^3}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{y}{x^3} + \frac{x}{y^3}$を通分します。

$\frac{y}{x^3} + \frac{x}{y^3} = \frac{y^4 + x^4}{x^3y^3}$

次に、$x^4 + y^4$ を $x+y$ と $xy$ を用いて表します。

まず、$x^2 + y^2$ を求めます。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$より、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

与えられた条件より、$x+y = 5$、$xy = 3$なので、

$x^2 + y^2 = 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$

次に、$x^4 + y^4$ を求めます。

$(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$より、$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$

$x^2 + y^2 = 19$、$xy = 3$なので、

$x^4 + y^4 = 19^2 - 2(3^2) = 361 - 2(9) = 361 - 18 = 343$

したがって、$\frac{y^4 + x^4}{x^3y^3} = \frac{x^4 + y^4}{(xy)^3}$

$x^4 + y^4 = 343$、$xy = 3$なので、

$\frac{343}{3^3} = \frac{343}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{343}{27}$