与えられた方程式 $\log_3{x} + \log_9{(4-x)} = 1$ を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $\log_3{x} + \log_9{(4-x)} = 1$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を3に統一します。$\log_9{(4-x)}$ を底3の対数に変換するには、底の変換公式を用います。

$\log_9{(4-x)} = \frac{\log_3{(4-x)}}{\log_3{9}} = \frac{\log_3{(4-x)}}{2}$

したがって、元の式は次のように書き換えられます。

$\log_3{x} + \frac{\log_3{(4-x)}}{2} = 1$

両辺に2を掛けて、分数をなくします。

$2\log_3{x} + \log_3{(4-x)} = 2$

対数の性質を用いて、左辺をまとめます。

$\log_3{x^2} + \log_3{(4-x)} = 2$

$\log_3{(x^2(4-x))} = 2$

対数の定義より、

$x^2(4-x) = 3^2$

$x^2(4-x) = 9$

$4x^2 - x^3 = 9$

$x^3 - 4x^2 + 9 = 0$

この3次方程式を解きます。因数定理を用いて、$x=-1$ が解であることがわかります。つまり、$x+1$ は因数です。多項式を因数分解すると

$(x+1)(x^2 - 5x + 9) = 0$

したがって、$x = -1$ または $x^2 - 5x + 9 = 0$ です。

$x^2 - 5x + 9 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(9)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-11}}{2}$

これは虚数解なので、実数解は $x = -1$ のみです。

ただし、対数の真数は正でなければならないので、$x>0$ かつ $4-x>0$ が必要です。$x=-1$ は条件を満たさないため不適です。

しかし、因数分解が間違っていました。正しくは

$x^3-4x^2+9 = 0$となるので、これは因数定理では綺麗な整数解が見つかりません。

$x=-1$の時、$-1-4+9 = 4 \neq 0$なので、$x=-1$は解ではありません。

また、$x=3$の時、$27-4*9+9 = 27-36+9=0$なので$x=3$は解です。

すると、$(x-3)$で因数分解でき、$(x-3)(x^2-x-3) = 0$となる。

$x=3$または、$x^2-x-3=0$

$x^2-x-3=0$を解くと、$x=\frac{1 \pm \sqrt{1+12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2.303, x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx -1.303$

$x>0$と$4-x>0$を満たすのは、$x = 3, \frac{1+\sqrt{13}}{2}$のみ。

3. 最終的な答え

$x = 3, \frac{1+\sqrt{13}}{2}$