原点Oを中心とする半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。はじめに点Cは点(3, 0)にあり、このとき円O上の点A(4, 0)に重なっている円C上の点をPとする。 (1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta (0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。 (2) (1)のとき、点Pの座標(x, y)を$\theta$を用いて表せ。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。はじめに点Cは点(3, 0)にあり、このとき円O上の点A(4, 0)に重なっている円C上の点をPとする。

(1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta (0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。

(2) (1)のとき、点Pの座標(x, y)を$\theta$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

円Oと円Cが点Bで接しているとき、弧ABの長さは円Cの点Bから点Pまでの弧の長さに等しい。

円Oの中心角$\angle COA = \theta$より、弧ABの長さは$4\theta$である。

円Cの半径は1なので、円Cの中心角$\angle BCP$を$\alpha$とすると、弧BPの長さは$\alpha$である。

したがって、$4\theta = \alpha$となるので、$\angle BCP = 4\theta$である。

(2)

点Pの座標を求める。

点Cの座標は$(3\cos\theta, 3\sin\theta)$である。

$\angle BCP = 4\theta$なので、$\angle xCP = 4\theta - \theta = 3\theta$である。

点Pは、点Cを中心として、x軸から$3\theta + \pi$だけ回転した位置にある。

したがって、点Pの座標(x, y)は、

$x = 3\cos\theta + \cos(3\theta + \pi) = 3\cos\theta - \cos(3\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(3\theta + \pi) = 3\sin\theta - \sin(3\theta)$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BCP = 4\theta$

(2) $x = 3\cos\theta - \cos(3\theta), y = 3\sin\theta - \sin(3\theta)$