与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-3)$ を展開し、$x$ について降べきの順に整理する。

## 問題 29 (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-3)$ を展開し、$x$ について降べきの順に整理する。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-2)$ を展開する。

$(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

次に、この結果に $(x-3)$ をかける。

$(x^2 - 3x + 2)(x-3) = x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

よって、$x$ について降べきの順に整理された式は $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ となる。

3. 最終的な答え

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

## 問題 29 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+a)(x+b)(x+c)$ を展開し、$x$ について降べきの順に整理する。

2. 解き方の手順

まず、$(x+a)(x+b)$ を展開する。

$(x+a)(x+b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a+b)x + ab$

次に、この結果に $(x+c)$ をかける。

$(x^2 + (a+b)x + ab)(x+c) = x^3 + (a+b)x^2 + abx + cx^2 + c(a+b)x + abc$

$= x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x + abc$

よって、$x$ について降べきの順に整理された式は $x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x + abc$ となる。

3. 最終的な答え

$x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x + abc$

## 問題 30 (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+3)(x-1)(x-3)$ を展開する。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x-1)$ および $(x+3)(x-3)$ を展開する。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$(x+3)(x-3) = x^2 - 9$

次に、これらの結果をかける。

$(x^2 - 1)(x^2 - 9) = x^4 - 9x^2 - x^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$

よって、展開された式は $x^4 - 10x^2 + 9$ となる。

3. 最終的な答え

$x^4 - 10x^2 + 9$

## 問題 30 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開する。

2. 解き方の手順

まず、$x(x+3)$ および $(x+1)(x+2)$ を展開する。

$x(x+3) = x^2 + 3x$

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

次に、これらの結果をかける。

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = (x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x)$

$= x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 2x^2 + 6x = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

よって、展開された式は $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$ となる。

3. 最終的な答え

$x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$