与えられた数列の第$k$項を求め、さらに初項から第$n$項までの和を求める問題です。数列は2つあります。 (1) 1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17, ... (2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, ...

1. 問題の内容

与えられた数列の第$k$項を求め、さらに初項から第$n$項までの和を求める問題です。数列は2つあります。

(1) 1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, 1+5+9+13+17, ...

(2) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, ...

2. 解き方の手順

(1)

まず、数列の第$k$項を求めます。第$k$項は、初項1から始まり、公差4の等差数列の和です。

$a_k = 1 + \sum_{i=1}^{k-1} (1 + 4i) = \sum_{i=0}^{k-1} (1 + 4i)$

$a_k = \sum_{i=0}^{k-1} 1 + 4\sum_{i=0}^{k-1} i = k + 4 \cdot \frac{(k-1)k}{2} = k + 2k(k-1) = k + 2k^2 - 2k = 2k^2 - k$

次に、初項から第$n$項までの和を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2)

数列の第$k$項は、初項1から始まり、公比3の等比数列の和です。

$a_k = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i$

これは等比数列の和なので、

$a_k = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$

次に、初項から第$n$項までの和を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (3^k - 1) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{3-1} - n) = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 第$k$項: $2k^2 - k$

初項から第$n$項までの和: $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2) 第$k$項: $\frac{3^k - 1}{2}$

初項から第$n$項までの和: $\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$