集合 $A = \{1, 2a+1, a^2+1\}$ と集合 $B = \{a+1, a+3, 3a+2\}$ の共通部分が $A \cap B = \{2, a\}$ となる時、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 2a+1, a^2+1\}$ と集合 $B = \{a+1, a+3, 3a+2\}$ の共通部分が $A \cap B = \{2, a\}$ となる時、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{2, a\}$ であることから、$2 \in A$ かつ $2 \in B$ が成り立ち、$a \in A$ かつ $a \in B$ が成り立ちます。

まず、$2 \in A$ であることから、$2a+1 = 2$ または $a^2+1 = 2$ のいずれかが成り立つ必要があります。

* $2a+1 = 2$ の場合、$2a = 1$ より $a = \frac{1}{2}$ となります。

* $a^2+1 = 2$ の場合、$a^2 = 1$ より $a = 1$ または $a = -1$ となります。

次に、$2 \in B$ であることから、$a+1 = 2$ または $a+3 = 2$ または $3a+2 = 2$ のいずれかが成り立つ必要があります。

* $a+1 = 2$ の場合、$a = 1$ となります。

* $a+3 = 2$ の場合、$a = -1$ となります。

* $3a+2 = 2$ の場合、$3a = 0$ より $a = 0$ となります。

上記の条件を全て満たす $a$ の候補は、$a = 1$ または $a = -1$ です。

$a = 1$ の場合：

* $A = \{1, 3, 2\}$

* $B = \{2, 4, 5\}$

* $A \cap B = \{2\}$ となり、$\{2, a\} = \{2, 1\}$ と一致しません。したがって、$a = 1$ は解ではありません。

$a = -1$ の場合：

* $A = \{1, -1, 2\}$

* $B = \{0, 2, -1\}$

* $A \cap B = \{2, -1\}$ となり、$\{2, a\} = \{2, -1\}$ と一致します。したがって、$a = -1$ は解です。

したがって、$a$ は $-1$ です。

3. 最終的な答え

$a = -1$