行列 $A$ が与えられています。行列 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ が与えられています。それぞれの行列が、行列 $A$ にある基本行列を左または右からかけたものとして得られているかを判定し、その基本行列を答える問題です。 $A = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -5 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ $A_1 = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -5 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -12 & 6 & 4 & 2 \end{bmatrix}$ $A_2 = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -10 \\ -4 & -2 & 4 & 12 \\ -6 & 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ $A_3 = \begin{bmatrix} -6 & 3 & 2 & 1 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -3 & 5 & -1 & -5 \end{bmatrix}$ $A_4 = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -5 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -14 & -1 & 10 & 13 \end{bmatrix}$ $A_5 = \begin{bmatrix} -1 & 5 & -3 & -5 \\ 4 & -2 & -4 & 6 \\ 2 & 3 & -6 & 1 \end{bmatrix}$ $A_6 = \begin{bmatrix} -3 & -1 & -1 & -5 \\ -4 & -10 & 4 & 6 \\ -6 & -9 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $A$ が与えられています。行列 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ が与えられています。それぞれの行列が、行列 $A$ にある基本行列を左または右からかけたものとして得られているかを判定し、その基本行列を答える問題です。

$A = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -5 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

$A_1 = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -5 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -12 & 6 & 4 & 2 \end{bmatrix}$

$A_2 = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -10 \\ -4 & -2 & 4 & 12 \\ -6 & 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

$A_3 = \begin{bmatrix} -6 & 3 & 2 & 1 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -3 & 5 & -1 & -5 \end{bmatrix}$

$A_4 = \begin{bmatrix} -3 & 5 & -1 & -5 \\ -4 & -2 & 4 & 6 \\ -14 & -1 & 10 & 13 \end{bmatrix}$

$A_5 = \begin{bmatrix} -1 & 5 & -3 & -5 \\ 4 & -2 & -4 & 6 \\ 2 & 3 & -6 & 1 \end{bmatrix}$

$A_6 = \begin{bmatrix} -3 & -1 & -1 & -5 \\ -4 & -10 & 4 & 6 \\ -6 & -9 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

$A_1$: $A$ の第3行が $A_1$ で変わっているので、基本行列を左からかける操作です。$A_1$ の第3行は、 $A$ の第2行に 2 を掛け、第3行に足したものです。したがって、左からかける基本行列は、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

$A_2$: $A$ の第4列が $A_2$ で変わっているので、基本行列を右からかける操作です。$A_2$ の第4列は、 $A$ の第1列に 1 を掛け、第4列に足したものです。したがって、右からかける基本行列は、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A_3$: $A$ の第1行と第3行が入れ替わっているので、基本行列を左からかける操作です。したがって、左からかける基本行列は、

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_4$: $A$ の第3行が $A_4$ で変わっているので、基本行列を左からかける操作です。$A_4$ の第3行は、 $A$ の第1行に 2 を掛け、第2行に -1 を掛け、第3行に足したものです。したがって、左からかける基本行列は、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$A_5$: $A$ の第1列が $A_5$ で変わっているので、基本行列を右からかける操作です。$A_5$ の第1列は、 $A$ の第2列に -1 を掛け、第3列に -2 を掛け、第1列に足したものです。したがって、右からかける基本行列は、

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A_6$: $A$ の第2列が $A_6$ で変わっているので、基本行列を右からかける操作です。$A_6$ の第2列は、 $A$ の第1列に -1 を掛け、第2列に足したものです。したがって、右からかける基本行列は、

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A_1$: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

$A_2$: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A_3$: $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_4$: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$A_5$: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A_6$: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$