与えられた式 $2x^2 + 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ において、$a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ において、$a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

したがって、

$2x^2 + 1 = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、$x^2$, $x$, 定数項の係数がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a = 2$

$-2a + b = 0$

$a - b + c = 1$

最初の式から $a = 2$ がわかります。

これを2番目の式に代入すると、 $-2(2) + b = 0$ より $b = 4$ がわかります。

最後に、3番目の式に $a = 2$ と $b = 4$ を代入すると、 $2 - 4 + c = 1$ より $c = 3$ がわかります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 4$

$c = 3$