数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられており、初期条件 $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と漸化式 $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ (n = 1, 2, 3, ...)を満たす。ここで、行列Aは不明である。数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求める。ただし、行列Aは指定されていないため、このままでは数列の一般項を特定することはできない。行列Aが与えられていることを前提に、解法を説明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられており、初期条件 $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と漸化式 $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ (n = 1, 2, 3, ...)を満たす。ここで、行列Aは不明である。数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求める。ただし、行列Aは指定されていないため、このままでは数列の一般項を特定することはできない。行列Aが与えられていることを前提に、解法を説明する。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの固有値と固有ベクトルを求める。

まず、行列Aの固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解き、固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ を求める。ここで、Iは単位行列である。

次に、各固有値 $\lambda_i$ に対して、$(A - \lambda_i I) \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$ を満たす固有ベクトル $\mathbf{v}_i$ を求める。

(2) 初期ベクトルを固有ベクトルで展開する。

初期ベクトル $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を、求めた固有ベクトル $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$ の線形結合で表す。

つまり、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2$ を満たす係数 $c_1, c_2$ を求める。

(3) 一般項を求める。

漸化式 $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ より、

$\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = A^{n-1} \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix}$

が成り立つ。ここで、$A^{n-1}$ は次のように計算できる。

$A^{n-1} (c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2) = c_1 A^{n-1} \mathbf{v}_1 + c_2 A^{n-1} \mathbf{v}_2 = c_1 \lambda_1^{n-1} \mathbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^{n-1} \mathbf{v}_2$

したがって、$\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = c_1 \lambda_1^{n-1} \mathbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^{n-1} \mathbf{v}_2$ となる。

この式から、$a_n$ と $b_n$ の一般項を求める。

3. 最終的な答え

行列Aが与えられていないため、具体的な一般項を求めることはできない。

しかし、上記の解き方の手順に従うことで、行列Aが与えられた場合に $a_n$ と $b_n$ の一般項を求めることができる。

具体的にAの値が例えば、 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ であれば、固有値は3と1、固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$となり、$a_n = \frac{3^n + 1}{2}$、$b_n = \frac{3^n - 1}{2}$となる。

しかしAが与えられていないため、一般解の計算手順の記述に留まる。