2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられている。数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられている。数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める必要がある。（画像には記載されていませんが、(1)と(2)の結果を利用することが想定されます。）

(1) 固有値の計算

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ である。ここで $I$ は単位行列である。

$\begin{vmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$

したがって、$A$ の固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 4$ である。

(2) 固有ベクトルの計算

$\lambda_1 = 2$ に対応する固有ベクトルを $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、$(A - 2I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$ を満たす。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、$x + y = 0$ より $y = -x$ となる。したがって、$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍) が固有ベクトルである。

$\lambda_2 = 4$ に対応する固有ベクトルを $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、$(A - 4I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ を満たす。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、$-x + y = 0$ より $y = x$ となる。したがって、$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍) が固有ベクトルである。

(3) 数列の一般項

$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を固有ベクトルの線形結合で表す。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$c_1 + c_2 = 1$

$-c_1 + c_2 = 1$

これを解くと $c_1 = 0$ および $c_2 = 1$ となる。

$\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ より、

$\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = A^{n-1} \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = A^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = A^{n-1} (0 \cdot \mathbf{v}_1 + 1 \cdot \mathbf{v}_2) = 0 \cdot \lambda_1^{n-1} \mathbf{v}_1 + 1 \cdot \lambda_2^{n-1} \mathbf{v}_2 = 4^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4^{n-1} \\ 4^{n-1} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$a_n = 4^{n-1}$

$b_n = 4^{n-1}$