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2項列ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ について、以下の組み合わせ乗積を第2段階の単位 $e_1 \wedge e_2$ を用いて表す。 (1) $a_1 \wedge a_2$ (2) $a_1 \wedge a_3$ (3) $a_1 \wedge a_4$ (4) $a_1 \wedge a_2 \wedge a_3$

代数学線形代数ベクトル外積組み合わせ乗積
2025/5/21
はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、22の(1)～(4)を解きます。

1. 問題の内容

2項列ベクトル a1=(1−1)a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, a2=(20)a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, a3=(21)a_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, a4=(2−2)a_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} について、以下の組み合わせ乗積を第2段階の単位 e1∧e2e_1 \wedge e_2 を用いて表す。
(1) a1∧a2a_1 \wedge a_2
(2) a1∧a3a_1 \wedge a_3
(3) a1∧a4a_1 \wedge a_4
(4) a1∧a2∧a3a_1 \wedge a_2 \wedge a_3

2. 解き方の手順

与えられたベクトルを e1=(10)e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} と e2=(01)e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} で表現します。つまり、
a1=e1−e2a_1 = e_1 - e_2
a2=2e1+0e2=2e1a_2 = 2e_1 + 0e_2 = 2e_1
a3=2e1+e2a_3 = 2e_1 + e_2
a4=2e1−2e2a_4 = 2e_1 - 2e_2
を用いて、それぞれの組み合わせ乗積を計算します。
組み合わせ乗積の性質として、ei∧ei=0e_i \wedge e_i = 0 および ei∧ej=−ej∧eie_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_iを利用します。
(1)
a1∧a2=(e1−e2)∧(2e1)=e1∧(2e1)−e2∧(2e1)=2(e1∧e1)−2(e2∧e1)=0−2(e2∧e1)=2(e1∧e2)a_1 \wedge a_2 = (e_1 - e_2) \wedge (2e_1) = e_1 \wedge (2e_1) - e_2 \wedge (2e_1) = 2(e_1 \wedge e_1) - 2(e_2 \wedge e_1) = 0 - 2(e_2 \wedge e_1) = 2(e_1 \wedge e_2)
(2)
a1∧a3=(e1−e2)∧(2e1+e2)=e1∧(2e1)+e1∧e2−e2∧(2e1)−e2∧e2=0+e1∧e2−2(e2∧e1)−0=e1∧e2+2(e1∧e2)=3(e1∧e2)a_1 \wedge a_3 = (e_1 - e_2) \wedge (2e_1 + e_2) = e_1 \wedge (2e_1) + e_1 \wedge e_2 - e_2 \wedge (2e_1) - e_2 \wedge e_2 = 0 + e_1 \wedge e_2 - 2(e_2 \wedge e_1) - 0 = e_1 \wedge e_2 + 2(e_1 \wedge e_2) = 3(e_1 \wedge e_2)
(3)
a1∧a4=(e1−e2)∧(2e1−2e2)=e1∧(2e1)−e1∧(2e2)−e2∧(2e1)+e2∧(2e2)=0−2(e1∧e2)−2(e2∧e1)+0=−2(e1∧e2)+2(e1∧e2)=0a_1 \wedge a_4 = (e_1 - e_2) \wedge (2e_1 - 2e_2) = e_1 \wedge (2e_1) - e_1 \wedge (2e_2) - e_2 \wedge (2e_1) + e_2 \wedge (2e_2) = 0 - 2(e_1 \wedge e_2) - 2(e_2 \wedge e_1) + 0 = -2(e_1 \wedge e_2) + 2(e_1 \wedge e_2) = 0
(4)
a1∧a2∧a3=(e1−e2)∧(2e1)∧(2e1+e2)a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = (e_1 - e_2) \wedge (2e_1) \wedge (2e_1 + e_2)
まず、a1∧a2=2(e1∧e2)a_1 \wedge a_2 = 2(e_1 \wedge e_2)だったので、これを使うと、
a1∧a2∧a3=2(e1∧e2)∧(2e1+e2)=2(e1∧e2∧(2e1)+e1∧e2∧e2)=2(e1∧e2∧(2e1)+e1∧e2∧e2)a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = 2(e_1 \wedge e_2) \wedge (2e_1 + e_2) = 2 (e_1 \wedge e_2 \wedge (2e_1) + e_1 \wedge e_2 \wedge e_2) = 2(e_1 \wedge e_2 \wedge (2e_1) + e_1 \wedge e_2 \wedge e_2)
組み合わせ乗積の性質より、e1∧e2∧e1=−e1∧e1∧e2=0e_1 \wedge e_2 \wedge e_1 = - e_1 \wedge e_1 \wedge e_2 = 0 , e1∧e2∧e2=e1∧e2∧e2=0e_1 \wedge e_2 \wedge e_2 = e_1 \wedge e_2 \wedge e_2 = 0なので、
a1∧a2∧a3=2(0+0)=0a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = 2(0 + 0) = 0

3. 最終的な答え

(1) a1∧a2=2(e1∧e2)a_1 \wedge a_2 = 2(e_1 \wedge e_2)
(2) a1∧a3=3(e1∧e2)a_1 \wedge a_3 = 3(e_1 \wedge e_2)
(3) a1∧a4=0a_1 \wedge a_4 = 0
(4) a1∧a2∧a3=0a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = 0

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