高さ50mの塔が立っている。地点Aから塔の先端Pを見た角度は30度、地点Bから塔の先端Pを見た角度は45度、∠BHA = 30度である。地点AとBの距離を求める。

1. 問題の内容

高さ50mの塔が立っている。地点Aから塔の先端Pを見た角度は30度、地点Bから塔の先端Pを見た角度は45度、∠BHA = 30度である。地点AとBの距離を求める。

2. 解き方の手順

まず、PHの長さを求める。

$\angle PBH = 45^{\circ}$なので、$\triangle PBH$は直角二等辺三角形となる。したがって、

$PH = BH = 50$

次に、$\triangle PAH$において、$AH$の長さを求める。

$\angle PAH = 30^{\circ}$なので、

$\tan 30^{\circ} = \frac{PH}{AH} = \frac{50}{AH}$

$AH = \frac{50}{\tan 30^{\circ}} = \frac{50}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 50\sqrt{3}$

$\triangle ABH$において、余弦定理を用いてABの長さを求める。

$AB^2 = AH^2 + BH^2 - 2 \cdot AH \cdot BH \cdot \cos \angle BHA$

$AB^2 = (50\sqrt{3})^2 + 50^2 - 2 \cdot 50\sqrt{3} \cdot 50 \cdot \cos 30^{\circ}$

$AB^2 = 50^2 \cdot 3 + 50^2 - 2 \cdot 50^2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB^2 = 50^2 \cdot 3 + 50^2 - 50^2 \cdot 3$

$AB^2 = 50^2$

$AB = 50$

3. 最終的な答え

50