次の等式を証明します。 (1) $(a-2b)^2 + (2a+b)^2 = 5(a^2+b^2)$ (2) $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$ (3) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)$

1. 問題の内容

次の等式を証明します。

(1) $(a-2b)^2 + (2a+b)^2 = 5(a^2+b^2)$

(2) $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$

(3) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開します。

$(a-2b)^2 + (2a+b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 + 4a^2 + 4ab + b^2 = 5a^2 + 5b^2 = 5(a^2 + b^2)$

これは右辺と等しいです。

(2)

左辺を展開します。

$(a-b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

これは右辺と等しいです。

(3)

右辺を展開します。

$\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = \frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2) = \frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$

これは左辺と等しいです。

3. 最終的な答え

(1) $(a-2b)^2 + (2a+b)^2 = 5(a^2+b^2)$

左辺と右辺を展開すると、$5a^2+5b^2$ となり、等式は証明されました。

(2) $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$

左辺を展開すると、$a^2+2ab+b^2$ となり、右辺と等しいので、等式は証明されました。

(3) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)$

右辺を展開すると、$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ となり、左辺と等しいので、等式は証明されました。