数列 $1(2n-1), 3(2n-3), 5(2n-5), \dots, (2n-3)3, (2n-1)1$ の第 $k$ 項 $a_k$ ($k \le n$) と和 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1(2n-1), 3(2n-3), 5(2n-5), \dots, (2n-3)3, (2n-1)1$ の第 $k$ 項 $a_k$ ($k \le n$) と和 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、第 $k$ 項 $a_k$ を求めます。

数列の各項は、奇数と $(2n - \text{奇数})$ の積で表されています。

$k$番目の奇数は $2k-1$ なので、$k$番目の項は $(2k-1)(2n - (2k-1))$ となります。

したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は

$a_k = (2k-1)(2n - 2k + 1) = (2k-1)(2n+1-2k)$

となります。

次に、和 $S$ を求めます。

$S = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n+1-2k)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (4nk + 2k - 4k^2 - 2k + 1 - 2n)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 - 2n + 1)$

$S = 4n \sum_{k=1}^{n} k - 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + (-2n+1) \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

を用いると、

$S = 4n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (-2n+1)n$

$S = 2n^2(n+1) - \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n^2 + n$

$S = 2n^3 + 2n^2 - \frac{2n(2n^2+3n+1)}{3} - 2n^2 + n$

$S = 2n^3 - \frac{4n^3+6n^2+2n}{3} + n$

$S = \frac{6n^3 - 4n^3 - 6n^2 - 2n + 3n}{3}$

$S = \frac{2n^3 - 6n^2 + n}{3}$

$S = \frac{n(2n^2 - 6n + 1)}{3}$

3. 最終的な答え

第 $k$ 項: $a_k = (2k-1)(2n+1-2k)$

和: $S = \frac{n(2n^2 - 6n + 1)}{3}$