初項 $a$ (ただし $a \neq 0$)の等比数列があり、初項から第3項までの和が $S$ である。そのような等比数列がただ1つだけ存在するとき、$a$ と $S$ の関係、$r$（公比）、そして第10項の値を求める。

1. 問題の内容

初項 $a$ (ただし $a \neq 0$)の等比数列があり、初項から第3項までの和が $S$ である。そのような等比数列がただ1つだけ存在するとき、$a$ と $S$ の関係、$r$（公比）、そして第10項の値を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の初項から第3項までの和は、

$S = a + ar + ar^2$

と表せる。ここで、$r$は公比である。

これを変形すると、

$S = a(1 + r + r^2)$

$a \neq 0$ より、 $1 + r + r^2 = \frac{S}{a}$。

$r^2 + r + (1 - \frac{S}{a}) = 0$

この2次方程式が実数解をただ一つだけ持つ条件は、判別式 $D = 0$ であること。

$D = 1^2 - 4(1 - \frac{S}{a}) = 0$

$1 - 4 + \frac{4S}{a} = 0$

$\frac{4S}{a} = 3$

$4S = 3a$

よって、$S = \frac{3}{4}a$

次に、公比 $r$ を求める。$r^2 + r + (1 - \frac{S}{a}) = 0$ に $S = \frac{3}{4}a$ を代入すると、

$r^2 + r + (1 - \frac{3}{4}) = 0$

$r^2 + r + \frac{1}{4} = 0$

$(r + \frac{1}{2})^2 = 0$

$r = -\frac{1}{2}$

最後に、第10項を求める。第10項は $ar^9$ であり、$r = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$a(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{a}{2^9} = -\frac{a}{512}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3}{4}a$

公比 $r = -\frac{1}{2}$

第10項 = $-\frac{a}{512}$