半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oのまわりを反時計回りに移動する。はじめに点Cは(3,0)にあり、円O上の点A(4,0)に重なっている円C上の点をPとする。 (1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta (0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。 (2) (1)のとき、点Pの座標x,yを$\theta$を用いて表せ。

1. 問題の内容

半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oのまわりを反時計回りに移動する。はじめに点Cは(3,0)にあり、円O上の点A(4,0)に重なっている円C上の点をPとする。

(1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta (0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。

(2) (1)のとき、点Pの座標x,yを$\theta$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 円Cが円Oの内側を転がる時、円Cの中心Cが$\theta$回転すると、円Cは中心角が$4\theta$だけ回転する。よって、$\angle BCP = 4\theta$。

(2) 点Pの座標を(x,y)とすると、$\vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP}$である。$\vec{OC}$の成分表示は

$\vec{OC} = (3\cos \theta, 3\sin \theta)$

$\vec{CP}$の成分表示を求める。$\angle BCP = 4\theta$であり、$\angle OCA = \theta$であるので、$\vec{CP}$がx軸の正の方向となす角は$\theta - 4\theta = -3\theta$。よって、

$\vec{CP} = (\cos (-3\theta), \sin (-3\theta)) = (\cos (3\theta), -\sin (3\theta))$

したがって、

$\vec{OP} = (3\cos \theta + \cos 3\theta, 3\sin \theta - \sin 3\theta)$

よって、点Pの座標は、

$x = 3\cos \theta + \cos 3\theta$

$y = 3\sin \theta - \sin 3\theta$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BCP = 4\theta$

(2) $x = 3\cos \theta + \cos 3\theta$, $y = 3\sin \theta - \sin 3\theta$