与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、次の式で表される数列の、k=1からnまでの総和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 7^{k-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、次の式で表される数列の、k=1からnまでの総和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 7^{k-1}$

2. 解き方の手順

この数列は、初項が $a = 3 \cdot 7^{1-1} = 3 \cdot 7^0 = 3$、公比が $r = 7$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式を利用して解きます。

等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$S_n$ は初項から第n項までの和、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の数を表します。

この問題では、$a = 3$、$r = 7$ であるため、公式に代入すると、

$S_n = \frac{3(7^n - 1)}{7 - 1}$

$S_n = \frac{3(7^n - 1)}{6}$

$S_n = \frac{7^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7^n - 1}{2}$