与えられた問題は、次の数列の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の数列の和を求めることです。

$\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$

2. 解き方の手順

この問題は等比数列の和を求める問題です。

等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

今回の問題では、

$a = (-2)^{1-1} = (-2)^0 = 1$

$r = -2$

項数は $n-1$

上記の公式に代入すると、

$S_{n-1} = \frac{1(1-(-2)^{n-1})}{1-(-2)} = \frac{1-(-2)^{n-1}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1-(-2)^{n-1}}{3}$