以下の6つの2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 + 5x + 6 > 0$ (2) $x^2 - x - 2 \le 0$ (3) $3x^2 - x - 2 \le 0$ (4) $-x^2 + 2x + 1 < 0$ (5) $x^2 + 2x + 2 > 0$ (6) $x^2 + 6x + 9 \le 0$

はい、承知いたしました。与えられた2次不等式を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 + 5x + 6 > 0$

(2) $x^2 - x - 2 \le 0$

(3) $3x^2 - x - 2 \le 0$

(4) $-x^2 + 2x + 1 < 0$

(5) $x^2 + 2x + 2 > 0$

(6) $x^2 + 6x + 9 \le 0$

2. 解き方の手順

各不等式を個別に解きます。

(1) $x^2 + 5x + 6 > 0$

左辺を因数分解すると、 $(x+2)(x+3) > 0$。

$x < -3$ または $x > -2$

(2) $x^2 - x - 2 \le 0$

左辺を因数分解すると、 $(x-2)(x+1) \le 0$。

$-1 \le x \le 2$

(3) $3x^2 - x - 2 \le 0$

左辺を因数分解すると、 $(3x+2)(x-1) \le 0$。

$-\frac{2}{3} \le x \le 1$

(4) $-x^2 + 2x + 1 < 0$

両辺に-1を掛けると、$x^2 - 2x - 1 > 0$。

解の公式を用いると、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。

したがって、$x < 1 - \sqrt{2}$ または $x > 1 + \sqrt{2}$

(5) $x^2 + 2x + 2 > 0$

$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$。

$(x+1)^2 + 1 > 0$ は常に成り立つので、すべての実数 $x$ が解。

(6) $x^2 + 6x + 9 \le 0$

左辺を因数分解すると、 $(x+3)^2 \le 0$。

$(x+3)^2 \ge 0$ であるから、 $(x+3)^2 = 0$ でなければならない。

したがって、$x = -3$。

3. 最終的な答え

(1) $x < -3$ または $x > -2$

(2) $-1 \le x \le 2$

(3) $-\frac{2}{3} \le x \le 1$

(4) $x < 1 - \sqrt{2}$ または $x > 1 + \sqrt{2}$

(5) すべての実数

(6) $x = -3$