一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{BC} = \vec{b}$とするとき、$\overrightarrow{DH} = \vec{d}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{BC} = \vec{b}$とするとき、$\overrightarrow{DH} = \vec{d}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

立方体なので、$\vec{a}$と$\vec{b}$は垂直であり、$\overrightarrow{DH}$は$\vec{a}$と$\vec{b}$の両方に垂直です。

したがって、$\overrightarrow{DH}$は$\vec{a}$と$\vec{b}$の外積の定数倍で表すことができます。

$\overrightarrow{DH}$の向きは$\vec{a}$と$\vec{b}$で作られる平面に垂直であり、$\vec{a} \times \vec{b}$の向きと同じなので、

$\overrightarrow{DH} = k (\vec{a} \times \vec{b})$

と表すことができます。ここで、$k$は実数です。

外積の大きさは、

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$

で与えられます。ここで、$\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角です。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は垂直なので、$\theta = 90^{\circ}$であり、$\sin{90^{\circ}} = 1$です。

したがって、

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| = 2 \times 2 = 4$

となります。

一方、$|\overrightarrow{DH}| = 2$ なので、

$|\overrightarrow{DH}| = |k (\vec{a} \times \vec{b})| = |k| |\vec{a} \times \vec{b}| = |k| \times 4 = 2$

したがって、$|k| = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$となります。

$\overrightarrow{DH}$の向きは$\vec{a} \times \vec{b}$の向きと同じなので、$k$は正の値であり、$k = \frac{1}{2}$となります。

したがって、

$\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2} (\vec{a} \times \vec{b})$

となります。

しかし、画像に$\overrightarrow{DH} = \vec{a} \times \vec{b}$という記述があるため、この問題の意図を正しく理解できていない可能性があります。

$\overrightarrow{AD}$を$\vec{c}$と定義すると、

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$は互いに垂直なベクトルとなります。$\vec{d}=\vec{c}$ なので、このベクトルを$\vec{a}$と$\vec{b}$を使って表すことを考えます。

$\overrightarrow{DH}=\vec{c}$であり、立方体の一辺の長さが2なので、$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$です。

$\vec{a} = (2,0,0)$, $\vec{b} = (0,2,0)$とすると、$\vec{c} = (0,0,2)$となります。$\vec{a} \times \vec{b} = (0,0,4)$なので、$\vec{c}=\frac{1}{2} \vec{a} \times \vec{b}$となります。

しかし、この問題は$\vec{a}$と$\vec{b}$の線形結合で表すことを意図しているようなので、別の方法を考えます。

$\overrightarrow{DH}$ は$\overrightarrow{AE}$と等しいので、

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$のような関係はないので、

$\overrightarrow{DH}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表すことは不可能であると考えられます。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{DH} = \frac{1}{2}(\vec{a} \times \vec{b})$