$ (e_1 + ae_2) \wedge (e_1 + 2e_2 - e_3) = 3 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + b e_2 \wedge e_3 $ を満たす $a, b$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$(e_1 + ae_2) \wedge (e_1 + 2e_2 - e_3) = 3 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + b e_2 \wedge e_3$ を満たす $a, b$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$$(e_1 + ae_2) \wedge (e_1 + 2e_2 - e_3) = e_1 \wedge e_1 + 2 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + a e_2 \wedge e_1 + 2 a e_2 \wedge e_2 - a e_2 \wedge e_3$$

ここで、$e_1 \wedge e_1 = 0$ と $e_2 \wedge e_2 = 0$ であり、$e_2 \wedge e_1 = - e_1 \wedge e_2$ であることを使うと、

$$= 2 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 - a e_1 \wedge e_2 - a e_2 \wedge e_3$$

$$= (2 - a) e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 - a e_2 \wedge e_3$$

これが右辺の $3 e_1 \wedge e_2 - e_1 \wedge e_3 + b e_2 \wedge e_3$ と等しいので、各項の係数を比較します。

$e_1 \wedge e_2$ の係数を比較すると、

$$2 - a = 3$$

$e_1 \wedge e_3$ の係数を比較すると、

$$-1 = -1$$

$e_2 \wedge e_3$ の係数を比較すると、

$$-a = b$$

最初の式から $a = -1$ が得られます。

これを最後の式に代入すると $b = -(-1) = 1$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 1$