直交座標系の単位ベクトル $e_x$, $e_y$, $e_z$ を用いて表される2つのベクトル $a = e_x - 3e_y + e_z$ と $b = 2e_x + e_y - 2e_z$ について、以下の計算を行う。 (1) $a \times b$ (2) $b \times (2a + b)$ (3) $(a+b) \times (a-b)$

1. 問題の内容

直交座標系の単位ベクトル $e_x$, $e_y$, $e_z$ を用いて表される2つのベクトル $a = e_x - 3e_y + e_z$ と $b = 2e_x + e_y - 2e_z$ について、以下の計算を行う。

(1) $a \times b$

(2) $b \times (2a + b)$

(3) $(a+b) \times (a-b)$

2. 解き方の手順

(1) 外積 $a \times b$ は、以下のように計算できる。

$a \times b = \begin{vmatrix} e_x & e_y & e_z \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = e_x((-3)(-2) - (1)(1)) - e_y((1)(-2) - (1)(2)) + e_z((1)(1) - (-3)(2)) = 5e_x + 4e_y + 7e_z$

(2) まず、$2a+b$ を計算する。

$2a+b = 2(e_x - 3e_y + e_z) + (2e_x + e_y - 2e_z) = (2e_x - 6e_y + 2e_z) + (2e_x + e_y - 2e_z) = 4e_x - 5e_y$

次に、$b \times (2a+b)$ を計算する。

$b \times (2a+b) = (2e_x + e_y - 2e_z) \times (4e_x - 5e_y) = \begin{vmatrix} e_x & e_y & e_z \\ 2 & 1 & -2 \\ 4 & -5 & 0 \end{vmatrix} = e_x((1)(0) - (-2)(-5)) - e_y((2)(0) - (-2)(4)) + e_z((2)(-5) - (1)(4)) = -10e_x - 8e_y - 14e_z$

または、

$b \times (2a+b) = 2 b \times a + b \times b = -2 a \times b + 0 = -2 (5e_x + 4e_y + 7e_z) = -10 e_x - 8 e_y - 14 e_z$.

(3) $(a+b) \times (a-b)$ を計算する。

$(a+b) \times (a-b) = a \times a - a \times b + b \times a - b \times b = 0 - a \times b - a \times b - 0 = -2 a \times b = -2 (5e_x + 4e_y + 7e_z) = -10 e_x - 8 e_y - 14 e_z$

3. 最終的な答え

(1) $a \times b = 5e_x + 4e_y + 7e_z$

(2) $b \times (2a+b) = -10e_x - 8e_y - 14e_z$

(3) $(a+b) \times (a-b) = -10e_x - 8e_y - 14e_z$