与えられたブール関数 $f$ を簡略化する問題です。 $f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}C + \overline{A}BC\overline{D} + ABCD$

1. 問題の内容

与えられたブール関数 $f$ を簡略化する問題です。

$f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}C + \overline{A}BC\overline{D} + ABCD$

2. 解き方の手順

ブール代数の法則を用いて、与えられた関数を簡略化します。

まず、$f$を以下のように書き出します。

$f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}C + \overline{A}BC\overline{D} + ABCD$

$\overline{A}C$ の項に着目します。$\overline{A}C = \overline{A}C(B + \overline{B}) = \overline{A}BC + \overline{A}\overline{B}C$と展開できます。

したがって

$f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}BC + \overline{A}\overline{B}C + \overline{A}BC\overline{D} + ABCD$

$\overline{A}BC$ の項に着目します。$\overline{A}BC = \overline{A}BC(D + \overline{D}) = \overline{A}BCD + \overline{A}BC\overline{D}$と展開できます。

したがって

$f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}BC + \overline{A}\overline{B}C + \overline{A}BC\overline{D} + ABCD$

$f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}BC + \overline{A}\overline{B}C + \overline{A}BC\overline{D} + ABCD$

$f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}C + \overline{A}BC\overline{D} + ABCD$の$\overline{A}C$は$\overline{A}C(B+\overline{B})(D+\overline{D}) = \overline{A}BCD + \overline{A}BC\overline{D} + \overline{A}\overline{B}CD + \overline{A}\overline{B}C\overline{D}$

$\overline{A}C + \overline{A}BC\overline{D} = \overline{A}C(1+B\overline{D})=\overline{A}C$

$f = \overline{A}BCD + A\overline{B}C + A\overline{B}D + \overline{A}C + ABCD$

$f = \overline{A}C + A\overline{B}C + A\overline{B}D + ABCD$

$f = \overline{A}C + A\overline{B}(C+D) + ABCD$

ここで、カルノー図を使うと、

$f = \overline{A}C + A\overline{B}D + A\overline{B}C + ABCD = C(\overline{A} + A\overline{B} + ABD) + A\overline{B}D$

$= C(\overline{A} + A\overline{B} + AB) + A\overline{B}D$

$= C(\overline{A} + A(\overline{B}+B)) + A\overline{B}D = C(\overline{A}+A) + A\overline{B}D = C + A\overline{B}D$

$f = C + A\overline{B}D$

3. 最終的な答え

$f = C + A\overline{B}D$