正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺CDを2:1に内分する点をP、辺EFの中点をQとする。$\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AF}=\vec{b}$とするとき、$\vec{BC}$, $\vec{EF}$, $\vec{CE}$, $\vec{AC}$, $\vec{BD}$, $\vec{QP}$をそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$で表す。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺CDを2:1に内分する点をP、辺EFの中点をQとする。$\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AF}=\vec{b}$とするとき、$\vec{BC}$, $\vec{EF}$, $\vec{CE}$, $\vec{AC}$, $\vec{BD}$, $\vec{QP}$をそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$で表す。

2. 解き方の手順

正六角形の性質から、$\vec{BC} = \vec{AF} = \vec{b}$。

$\vec{EF} = \vec{BA} = -\vec{a}$。

$\vec{CE} = \vec{CF} + \vec{FE} = -\vec{a} - \vec{b}$。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$。

$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{b} + \vec{a} = \vec{a} + \vec{b}$。

点Pは辺CDを2:1に内分するので、

$\vec{AP} = \vec{AD} + \frac{2}{3} \vec{DC} = 2\vec{a} + \frac{2}{3} (-\vec{b}) = 2\vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

点Qは辺EFの中点なので、

$\vec{AQ} = \vec{AE} + \frac{1}{2} \vec{EF} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{a}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{QP} = \vec{AP} - \vec{AQ} = (2\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}) - (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = \frac{3}{2}\vec{a} - \frac{5}{3} \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{BC} = \vec{b}$

$\vec{EF} = -\vec{a}$

$\vec{CE} = -\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{BD} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{QP} = \frac{3}{2}\vec{a} - \frac{5}{3} \vec{b}$