円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=2, CD=DA=4である。 (1) 対角線BDの長さを求める。 (2) 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=2, CD=DA=4である。

(1) 対角線BDの長さを求める。

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線BDの長さを求める。

三角形ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{A} = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{A} = 25 - 24 \cos{A}$

三角形BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{C} = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos{C} = 20 - 16 \cos{C}$

円に内接する四角形なので、$A+C = 180^\circ$ より、$C = 180^\circ - A$

$\cos{C} = \cos{(180^\circ - A)} = -\cos{A}$

したがって、$BD^2 = 20 - 16 (-\cos{A}) = 20 + 16 \cos{A}$

$25 - 24 \cos{A} = 20 + 16 \cos{A}$

$5 = 40 \cos{A}$

$\cos{A} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

$BD^2 = 25 - 24 \cdot \frac{1}{8} = 25 - 3 = 22$

$BD = \sqrt{22}$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

三角形ABDの面積は $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin{A} = 6 \sin{A}$

三角形BCDの面積は $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin{C} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin{C} = 4 \sin{C}$

$A+C = 180^\circ$ より $\sin{C} = \sin{A}$

$\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1$ より

$\sin{A} = \sqrt{1 - \cos^2{A}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

四角形ABCDの面積は $6 \sin{A} + 4 \sin{A} = 10 \sin{A} = 10 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{30\sqrt{7}}{8} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線BDの長さ: $\sqrt{22}$

(2) 四角形ABCDの面積: $\frac{15\sqrt{7}}{4}$