(1) 整式 $x^3 + ax^2 + bx + 3$ (a, bは実数) を $x - 1$ で割った余りが $3$, $x + 4$ で割った余りが $-17$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。 (2) $2^{\log_4 25}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) 整式 $x^3 + ax^2 + bx + 3$ (a, bは実数) を $x - 1$ で割った余りが $3$, $x + 4$ で割った余りが $-17$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

(2) $2^{\log_4 25}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

剰余の定理より、

$x - 1$ で割った余りが $3$ なので、

$1^3 + a(1)^2 + b(1) + 3 = 3$

$1 + a + b + 3 = 3$

$a + b = -1$ ... (1)

$x + 4$ で割った余りが $-17$ なので、

$(-4)^3 + a(-4)^2 + b(-4) + 3 = -17$

$-64 + 16a - 4b + 3 = -17$

$16a - 4b = 44$

$4a - b = 11$ ... (2)

(1) + (2) より、

$a + b + 4a - b = -1 + 11$

$5a = 10$

$a = 2$

(1) に代入して、

$2 + b = -1$

$b = -3$

よって、$a = 2, b = -3$

(2)

$2^{\log_4 25}$

ここで、$\log_4 25 = \log_4 5^2 = 2\log_4 5$

また、$4 = 2^2$ より、$\log_4 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = \frac{\log_2 5}{2}$

よって、$2^{\log_4 25} = 2^{2\log_4 5} = 2^{2\frac{\log_2 5}{2}} = 2^{\log_2 5} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = -3$

(2) $5$