3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + ax + a$ が極値をもたないとき、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + ax + a$ が極値をもたないとき、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x)$ が極値を持たない条件は、$f'(x) = 0$ の判別式が0以下になることです。

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 6ax + a$

次に、$f'(x) = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (6a)^2 - 4(3)(a) = 36a^2 - 12a$

$f(x)$ が極値を持たない条件は、$D \le 0$ です。

$36a^2 - 12a \le 0$

$12a(3a - 1) \le 0$

$a(3a - 1) \le 0$

この不等式を解きます。 $a = 0$ と $a = \frac{1}{3}$ が解となるので、$0 \le a \le \frac{1}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$0 \le a \le \frac{1}{3}$