2次方程式 $2x^2 - 8x + m = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値と、そのときの重解 $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 8x + m = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値と、そのときの重解 $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。与えられた2次方程式 $2x^2 - 8x + m = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$ で計算できます。この場合、$a=2$, $b=-8$, $c=m$ ですので、

$D = (-8)^2 - 4(2)(m) = 64 - 8m$

となります。

重解を持つためには、$D = 0$ でなければならないので、

$64 - 8m = 0$

$8m = 64$

$m = 8$

となります。

$m=8$ を元の2次方程式に代入すると、

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

となります。

この式を2で割ると、

$x^2 - 4x + 4 = 0$

となります。

この式は $(x-2)^2 = 0$ と因数分解できます。

したがって、$x = 2$ が重解となります。

3. 最終的な答え

$m=8$

$x=2$