数列 $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ の一般項を求めよ。数列の各項は、初項1、公比3の等比数列の和で表されている。第n項は $1 + 3 + 9 + 27 + \dots + 3^{n-1}$ である。この第n項を計算する。

1. 問題の内容

数列 $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ の一般項を求めよ。数列の各項は、初項1、公比3の等比数列の和で表されている。第n項は $1 + 3 + 9 + 27 + \dots + 3^{n-1}$ である。この第n項を計算する。

2. 解き方の手順

数列の第n項は、初項1、公比3の等比数列の初項から第n項までの和である。等比数列の和の公式を使う。

等比数列の和の公式は、初項を $a$, 公比を $r$, 項数を $n$ とすると、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ で与えられる。

この問題では、$a = 1$, $r = 3$ であるから、

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{3^n - 1}{2}$