$\theta$ に関する方程式 $\cos 2\theta - 2\sin\theta + a = 0$ について、$\sin\theta = t$ とおいたときの式、tの範囲、tの値に対応する$\theta$の個数を利用して、aの値の範囲に応じて、与えられた方程式を満たす$\theta$の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ に関する方程式 $\cos 2\theta - 2\sin\theta + a = 0$ について、$\sin\theta = t$ とおいたときの式、tの範囲、tの値に対応する$\theta$の個数を利用して、aの値の範囲に応じて、与えられた方程式を満たす$\theta$の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表します。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、与えられた方程式は

$1 - 2\sin^2 \theta - 2\sin \theta + a = 0$

$\sin\theta = t$ とおくと

$1 - 2t^2 - 2t + a = 0$

移項して

$-2t^2 - 2t + 1 = -a$

両辺に-1をかける

$2t^2 + 2t - 1 = a$

より、1の解答は、$2t^2 + 2t - 1 = a$である。

$\sin \theta$ の値域は $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ であるから、$-1 \leq t \leq 1$ となります。したがって、3は-1、5は1。

t = ±1 を満たす$\theta$は、それぞれ1個ずつなので、6は1。

-1 < t < 1 を満たす$\theta$は、各tに対して2個ずつ存在するので、7は2。

次に、$f(t) = 2t^2 + 2t - 1$ とおきます。

$f(t) = 2(t+\frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

$t = -1$ のとき $f(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 2 - 2 - 1 = -1$

$t = 1$ のとき $f(1) = 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき $f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 - 1 = -\frac{3}{2} = -1.5$

グラフを描いて、解の個数を考えます。

$a < -\frac{3}{2}$ または $a > 3$ のとき、解は0個

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、解は1個

$-\frac{3}{2} < a < -1$ のとき、解は2個

$a = -1$ のとき、解は3個

$-1 < a < 3$ のとき、解は4個

したがって、

$a < -\frac{3}{2}, 3 < a$ のとき、0個。8と9は3、10は2、11は3。

$a = -\frac{3}{2}$ のとき、1個。12は$-\frac{3}{2}$。

$-\frac{3}{2} < a < -1$ のとき、2個。13と14は-3、15は-1。

$a = -1$ のとき、3個。16と17は-1、18は1。

$-1 < a < 3$ のとき、4個。21と22は-1、23は1、24と25は3。

3. 最終的な答え

1: 2

3: -1

5: 1

6: 1

7: 2

8: -3

9: 3

10: 2

11: 3

12: -3/2

13: -3

14: -3

15: -1

16: -1

17: -1

18: 1

19: -1

20: 1

21: -1

22: 1

23: 1

24: 3

25: 3