縦4、横6の長方形が、縦に4等分、横に6等分されている。 (1) この図形に含まれる線分を辺とする正方形の個数を求める。 (2) この図形に含まれる線分を辺とする長方形であって、正方形でないものの個数を求める。

1. 問題の内容

縦4、横6の長方形が、縦に4等分、横に6等分されている。

(1) この図形に含まれる線分を辺とする正方形の個数を求める。

(2) この図形に含まれる線分を辺とする長方形であって、正方形でないものの個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正方形の個数

1x1の正方形の個数は、 $4 \times 6 = 24$ 個

2x2の正方形の個数は、 $3 \times 5 = 15$ 個

3x3の正方形の個数は、 $2 \times 4 = 8$ 個

4x4の正方形の個数は、 $1 \times 3 = 3$ 個

よって、正方形の個数の合計は、 $24 + 15 + 8 + 3 = 50$ 個

(2) 長方形の個数

長方形の総数は、縦方向に2本の線を選び、横方向に2本の線を選ぶことで決定する。

縦方向に5本の線があり、横方向に7本の線がある。

縦方向の2本の線の選び方は、 ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り

横方向の2本の線の選び方は、 ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ 通り

よって、長方形の総数は、 $10 \times 21 = 210$ 個

長方形であって正方形でないものの個数は、長方形の総数から正方形の個数を引くことで求められる。

$210 - 50 = 160$ 個

3. 最終的な答え

(1) 正方形の個数: 50個

(2) 正方形でない長方形の個数: 160個