運動場のトラックにおける第1レーンと第2レーンのスタート地点の差を求める問題。レーンの幅は1m、半円部分の半径は$r$ m、直線部分の長さは$a$ mとする。また、(1)の結果を利用して、第1レーンと第2レーンのスタート地点の差が、トラックの半円部分の半径に関係なく決まる理由を説明する問題。

1. 問題の内容

運動場のトラックにおける第1レーンと第2レーンのスタート地点の差を求める問題。レーンの幅は1m、半円部分の半径は$r$ m、直線部分の長さは$a$ mとする。また、(1)の結果を利用して、第1レーンと第2レーンのスタート地点の差が、トラックの半円部分の半径に関係なく決まる理由を説明する問題。

2. 解き方の手順

(1) 第1レーンの長さと第2レーンの長さをそれぞれ計算し、その差を求める。

第1レーンの長さは、半径 $r$ mの半円2つと、長さ $a$ mの直線部分2つなので、

$2 \pi r + 2a$

第2レーンの長さは、半径 $r+1$ mの半円2つと、長さ $a$ mの直線部分2つなので、

$2\pi (r+1) + 2a$

スタート地点の差は、第2レーンの長さから第1レーンの長さを引いたものとして計算できる。

$2\pi (r+1) + 2a - (2\pi r + 2a) = 2\pi r + 2\pi + 2a - 2\pi r - 2a = 2\pi$

(2) (1)の結果から、第1レーンと第2レーンのスタート地点の差は、$2\pi$ mであり、この値は半円部分の半径$r$を含んでいない。したがって、スタート地点の差はトラックの半円部分の半径の大きさに関係なく決まる。

3. 最終的な答え

(1) $2\pi$ m

(2) (1)の結果より、スタート地点の差は $2\pi$ m であり、この値は半円部分の半径 r を含まない。