半径1の円がx軸に接しながら正方向に滑らずに転がる。円の中心Aは最初(0,1)にあり、そのとき点Pは原点にある。円の中心Aが$(\theta, 1)$の位置に来たときの点Pの座標$(x, y)$を$\theta$を用いて表す。ただし、$0 \le \theta \le \pi$。

1. 問題の内容

半径1の円がx軸に接しながら正方向に滑らずに転がる。円の中心Aは最初(0,1)にあり、そのとき点Pは原点にある。円の中心Aが$(\theta, 1)$の位置に来たときの点Pの座標$(x, y)$を$\theta$を用いて表す。ただし、$0 \le \theta \le \pi$。

2. 解き方の手順

円が$\theta$だけ回転したとき、点Aの座標は$(\theta, 1)$になる。円が滑らずに回転するので、回転角$\theta$とx軸上を移動した距離$\theta$は等しい。点Pは最初原点にあり、そこから円周に沿って移動する。点Pの座標を求めるために、まず点Pが円の中心Aから見てどの位置にあるかを考える。最初に点Pは原点にあったので、円が$\theta$回転したとき、点Pは円周に沿って$\theta$だけ移動する。円周上の移動距離$\theta$は、中心角$\theta$に対応する。したがって、点PはAから見て時計回りに$\theta$だけ回転した位置にある。

点Pの座標を$(x, y)$とすると、

$x = \theta - \sin\theta$

$y = 1 - \cos\theta$

3. 最終的な答え

$x = \theta - \sin\theta$

$y = 1 - \cos\theta$