平行四辺形ABCDにおいて、次の等式が成り立つことを証明する。 $|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BD}|^2 = 2(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2)$

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、次の等式が成り立つことを証明する。

$|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BD}|^2 = 2(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2)$

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$が成り立つ。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

したがって、

$|\overrightarrow{AC}|^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = |\overrightarrow{AB}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + |\overrightarrow{AD}|^2$

$|\overrightarrow{BD}|^2 = (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AD}|^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + |\overrightarrow{AB}|^2$

$|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BD}|^2 = (|\overrightarrow{AB}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + |\overrightarrow{AD}|^2) + (|\overrightarrow{AD}|^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + |\overrightarrow{AB}|^2)$

$= 2|\overrightarrow{AB}|^2 + 2|\overrightarrow{AD}|^2$

$= 2(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2)$

3. 最終的な答え

$|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BD}|^2 = 2(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2)$ が成り立つ。