$x$軸に接して正方向に滑ることなく転がる半径1の円周上の固定点P$(x, y)$の軌跡を考えます。円の中心Aは初め点$(0, 1)$にあり、Pはそのとき原点にあるとします。Aが$(\theta, 1)$, $(0 \le \theta \le \pi)$の位置に来たときの$x, y$を$\theta$を用いて表します。

1. 問題の内容

$x$軸に接して正方向に滑ることなく転がる半径1の円周上の固定点P$(x, y)$の軌跡を考えます。円の中心Aは初め点$(0, 1)$にあり、Pはそのとき原点にあるとします。Aが$(\theta, 1)$, $(0 \le \theta \le \pi)$の位置に来たときの$x, y$を$\theta$を用いて表します。

2. 解き方の手順

円が$x$軸上を$\theta$だけ回転したとき、円の中心Aの座標は$(\theta, 1)$となります。

Pは円周上の点であり、円の半径は1です。回転角を$\theta$とすると、Pの座標は、中心Aから見て、反時計回りに$\theta$回転した位置にあります。

初期位置ではPは原点にあり、このとき中心Aは$(0, 1)$にあります。

円が$x$軸上を角度$\theta$だけ回転したとき、点Pは元の位置から時計回りに角度$\theta$だけ回転した位置に移動します。よって点Pの座標は、中心Aからの相対座標を考えると、$(-\sin \theta, -\cos \theta)$となります。

したがって、点Pの絶対座標$(x, y)$は、

$x = \theta - \sin \theta$

$y = 1 - \cos \theta$

となります。

3. 最終的な答え

$x = \theta - \sin \theta$

$y = 1 - \cos \theta$