平面上に直線 $l: x - 2y + 2 = 0$ と放物線 $y = -x^2$ がある。 (1) 点Pの座標が $(1, -1)$ のとき、点Pと直線 $l$ の距離を求める。 (2) 点Pが放物線 $y = -x^2$ 上を動くとき、点Pと直線 $l$ の距離 $d$ の最小値を求め、そのときのPの座標を求める。

1. 問題の内容

平面上に直線 $l: x - 2y + 2 = 0$ と放物線 $y = -x^2$ がある。

(1) 点Pの座標が $(1, -1)$ のとき、点Pと直線 $l$ の距離を求める。

(2) 点Pが放物線 $y = -x^2$ 上を動くとき、点Pと直線 $l$ の距離 $d$ の最小値を求め、そのときのPの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求められる。

Pの座標は $(1, -1)$ であり、$l: x - 2y + 2 = 0$ なので、点Pと直線 $l$ の距離は、

$\frac{|1 - 2(-1) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 2 + 2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(2) 点Pが放物線 $y = -x^2$ 上を動くので、Pの座標を $(t, -t^2)$ とおく。

点Pと直線 $l$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|t - 2(-t^2) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2t^2 + t + 2|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}|2t^2 + t + 2|$

$f(t) = 2t^2 + t + 2$ とすると、$f(t)$ は下に凸な放物線である。

$f(t) = 2(t^2 + \frac{1}{2}t) + 2 = 2(t^2 + \frac{1}{2}t + \frac{1}{16}) - 2 \cdot \frac{1}{16} + 2 = 2(t + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 2 = 2(t + \frac{1}{4})^2 + \frac{15}{8}$

$t = -\frac{1}{4}$ のとき、$f(t)$ は最小値 $\frac{15}{8}$ をとる。

$d = \frac{1}{\sqrt{5}} |f(t)| = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{15}{8} = \frac{15}{8\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{8 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{5}}{8}$

このとき、Pの座標は $(-\frac{1}{4}, - (-\frac{1}{4})^2) = (-\frac{1}{4}, -\frac{1}{16})$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}$

(2) 最小値: $\frac{3\sqrt{5}}{8}$, Pの座標: $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{16})$