直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、以下の問題を解きます。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。 (2) 点 $P$ を通り直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求める。 (3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、以下の問題を解きます。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。

(2) 点 $P$ を通り直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求める。

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルを求める。

直線の方程式 $ax + by + c = 0$ に対して、ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ が法線ベクトルになります。

したがって、直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ です。

(2) 点 $P$ を通り直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求める。

直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の方向ベクトルは、直線 $l$ の法線ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ に垂直なベクトルになります。

例えば、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ との内積が0であるため、垂直です。よって、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を直線 $l_1$ の方向ベクトルとして使えます。

点 $P(2, -1)$ を通り、方向ベクトルが $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ である直線の媒介変数表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表されます。

したがって、媒介変数表示は、

$x = 2 + 2t$

$y = -1 + t$

となります。

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

直線 $l$ の方程式 $x - 2y + 1 = 0$ に、直線 $l_1$ の媒介変数表示 $x = 2 + 2t$、$y = -1 + t$ を代入します。

$(2 + 2t) - 2(-1 + t) + 1 = 0$

$2 + 2t + 2 - 2t + 1 = 0$

$5 = 0$

この方程式は $t$ がどのような値であっても成立しません。したがって計算間違いの可能性があります。

直線 $l_1$は$l$に垂直なので、$l$の法線ベクトルが$l_1$の方向ベクトルになります。したがって、直線$l_1$の方向ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$です。

したがって、直線 $l_1$の媒介変数表示は、

$x = 2 + t$

$y = -1 - 2t$

となります。

これを直線 $l$ の方程式 $x - 2y + 1 = 0$ に代入すると、

$(2 + t) - 2(-1 - 2t) + 1 = 0$

$2 + t + 2 + 4t + 1 = 0$

$5t + 5 = 0$

$5t = -5$

$t = -1$

したがって、交点の座標は

$x = 2 + (-1) = 1$

$y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) $x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$

(3) $(1, 1)$