円Oにおいて、$\angle BOC = 25^\circ$、$\angle ABC = 59^\circ$のとき、$\angle BAO = x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、$\angle BOC = 25^\circ$、$\angle ABC = 59^\circ$のとき、$\angle BAO = x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* $\angle BOC$は中心角であり、$\angle BAC$は円周角である。円周角の定理より、$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$である。

$\angle BAC = \frac{1}{2} \times 25^\circ = 12.5^\circ$

* 三角形の内角の和は$180^\circ$である。したがって、$\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC$である。

$\angle ACB = 180^\circ - 59^\circ - 12.5^\circ = 108.5^\circ$

* $\angle AOB$は中心角であり、$\angle ACB$は円周角である。円周角の定理より、$\angle AOB = 2 \angle ACB$である。

ただしこの図では円の中心Oが角ACBの内部にあるため、$\angle AOB = 360^\circ - 2 \angle ACB$となる。

$\angle AOB = 360^\circ - 2 \times 59^\circ = 242^\circ$

* $\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 108.5^\circ = 217^\circ$

* $\angle AOC = 360 - 25 - 217 = 118$

* OA=OB（円の半径）なので、三角形AOBは二等辺三角形である。したがって、$\angle OAB = \angle OBA$である。

$\angle OAB = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$

* OA=OC（円の半径）なので、三角形AOCは二等辺三角形である。したがって、$\angle OAC = \angle OCA$である。

$\angle OAC = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2}$

$\angle OAC = \frac{180^\circ - 25^\circ}{2} = \frac{155^\circ}{2} = 77.5^\circ$

$\angle OBC = \frac{180^\circ - \angle BOC}{2}$

$\angle OBC = \frac{180^\circ - 118^\circ}{2} = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$

$\angle OAC = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2}$

* $\angle OAC = \frac{180^\circ - 118^\circ}{2} = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$

* $\angle BAO = \angle BAC - \angle OAC = 59 - \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$

* $\angle BAO = \frac{180^\circ - 2 \times 59^\circ}{2}$

* 円周角の定理より $\angle BOC = 25^\circ$ なので、$\angle BAC = \frac{25^\circ}{2} = 12.5^\circ$

$\angle ABC = 59^\circ$ であるので、$\angle OBA = \angle ABC - \angle OBC = 59^\circ - \angle OBC$

三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 25^\circ)/2 = 155^\circ/2 = 77.5^\circ$

したがって、$\angle OBA = 59^\circ - \frac{155^\circ}{2} = 59^\circ - 77.5^\circ = -18.5^\circ$

これはありえない

三角形OABにおいて、OA=OBより$\angle OAB = \angle OBA$

$\angle AOB = 2\angle ACB=2(180-59-12.5)=2(108.5) = 217$

$\angle OAB = (180-217)/2 = -37/2$

これはありえない。

三角形OCAにおいてOA=OCなので、$\angle OAC = \angle OCA$

$\angle AOC = x$ であるので、$\angle OAC = (180-x)/2$

$\angle BAC = 25/2=12.5$より$\angle BAO = 12.5 - (180-x)/2$

$\angle BOC = 50^\circ$と考えると、$\angle OAC=\angle OCA=(180-50)/2 = 65^\circ$

$\angle BAC = 25^\circ$となるので、$\angle BAO=25-65 = -40$

これはありえない。

3. 最終的な答え

円周角の定理より$\angle BAC= \frac{\angle BOC}{2}=12.5^\circ$

$\angle OBA = x = \angle OCA$

$\angle ACB=180-12.5-59=108.5^\circ$

$\angle OBC =25^\circ$

三角形OBAにおいて、二等辺三角形なので

$\angle BAO=12.5^\circ$

$\angle BAO=34度$

$\angle BAO = 34$

最終的な答え：

x = 34