直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。 (2) 点 $P$ を通り直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の、媒介変数 $t$ による方程式を求める。 (3) 直線 $l$ と直線 $l_1$ の交点の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。

(2) 点 $P$ を通り直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の、媒介変数 $t$ による方程式を求める。

(3) 直線 $l$ と直線 $l_1$ の交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルを求める。

直線の方程式が $ax + by + c = 0$ のとき、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ と表される。

したがって、直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルの一つは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ である。

(2) 点 $P(2, -1)$ を通り直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の、媒介変数 $t$ による方程式を求める。

直線 $l_1$ は直線 $l$ に直交するので、直線 $l$ の方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ は直線 $l_1$ の法線ベクトルとなる。

したがって、直線 $l_1$ の方向ベクトルは、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

よって、点 $P(2, -1)$ を通り、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を持つ直線 $l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、

$x = 2 + 2t$

$y = -1 + t$

(3) 直線 $l$ と直線 $l_1$ の交点の座標を求める。

直線 $l$ の方程式は $x - 2y + 1 = 0$ であり、直線 $l_1$ の方程式は $x = 2 + 2t$、$y = -1 + t$ である。

$x = 2 + 2t$ と $y = -1 + t$ を $x - 2y + 1 = 0$ に代入する。

$(2 + 2t) - 2(-1 + t) + 1 = 0$

$2 + 2t + 2 - 2t + 1 = 0$

$5 = 0$

これは矛盾しているので、計算に間違いがあるか、二つの直線が交わらないかのどちらかである。

$l_1$の方程式を求める際に、法線ベクトルと方向ベクトルを間違えてしまった。$l$の法線ベクトルは$\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}$なので、$l_1$の方向ベクトルは$\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}$。よって$l_1$の式は、

$x = 2+t$

$y = -1-2t$

これを$l$の式に代入すると、

$(2+t)-2(-1-2t)+1=0$

$2+t+2+4t+1=0$

$5t+5=0$

$t=-1$

これを$l_1$の式に代入すると、

$x=2+(-1)=1$

$y=-1-2(-1)=-1+2=1$

したがって交点は$(1,1)$

3. 最終的な答え

(1) 法線ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) 媒介変数表示: $x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$

(3) 交点の座標: $(1, 1)$