点A(0, 6)と点B(5, 0)がある。原点をOとする三角形OABの面積を半分にするような、点(0, 4)を通る直線の式を求める。

1. 問題の内容

点A(0, 6)と点B(5, 0)がある。原点をOとする三角形OABの面積を半分にするような、点(0, 4)を通る直線の式を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形OABの面積を計算する。

次に、面積を半分にする直線を考える。点(0, 4)を通る直線を $y = ax + 4$ と表せる。

この直線と線分ABとの交点を求め、三角形の面積が半分になるように $a$ の値を決定する。

ステップ1: 三角形OABの面積を求める。

A(0, 6), B(5, 0), O(0, 0)なので、三角形OABの面積は、底辺OBを5、高さを6と考えると、

$S_{OAB} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15$

ステップ2: 面積を半分にする直線を $y = ax + 4$ とおく。

この直線と線分ABの交点を求める。

線分ABの式を求める。A(0, 6), B(5, 0)を通る直線の傾きは、$\frac{0 - 6}{5 - 0} = -\frac{6}{5}$。

よって線分ABの式は、$y = -\frac{6}{5}x + 6$。

ステップ3: 直線 $y = ax + 4$ と直線 $y = -\frac{6}{5}x + 6$ の交点を求める。

$ax + 4 = -\frac{6}{5}x + 6$

$ax + \frac{6}{5}x = 2$

$(a + \frac{6}{5})x = 2$

$x = \frac{2}{a + \frac{6}{5}} = \frac{10}{5a + 6}$

交点のy座標は、

$y = a(\frac{10}{5a+6}) + 4 = \frac{10a}{5a+6} + \frac{4(5a+6)}{5a+6} = \frac{10a + 20a + 24}{5a+6} = \frac{30a + 24}{5a+6}$

交点をPとすると、$P(\frac{10}{5a + 6}, \frac{30a + 24}{5a + 6})$

ステップ4: 三角形OABの面積が半分になる条件を求める。

三角形OABの面積は15なので、直線によって分割された三角形の面積が7.5になる必要がある。ここでは、直線によって分割された三角形のうち、点Bを含む方の三角形の面積が7.5になると仮定する。

三角形OBPの面積を計算する。OBを底辺と考えると、高さはPのy座標となる。

$\frac{1}{2} \times 5 \times (\frac{30a + 24}{5a + 6}) = 7.5$

$5 \times (\frac{30a + 24}{5a + 6}) = 15$

$\frac{30a + 24}{5a + 6} = 3$

$30a + 24 = 15a + 18$

$15a = -6$

$a = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$

ステップ5: 直線の式を求める。

$y = -\frac{2}{5}x + 4$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{2}{5}x + 4$