(1) 0ベクトルでないベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (a_2, -a_1)$ が垂直であることを示す。 (2) (1)を利用して、$\vec{a} = (1, 2)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 0ベクトルでないベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (a_2, -a_1)$ が垂直であることを示す。

(2) (1)を利用して、$\vec{a} = (1, 2)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが垂直であることは、それらの内積が0になることで示される。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を計算し、それが0になることを示す。

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 a_2 + a_2 (-a_1) = a_1 a_2 - a_1 a_2 = 0$

したがって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直である。

(2) (1) より、$\vec{a} = (1, 2)$ に垂直なベクトルは $\vec{b} = (2, -1)$ である。

単位ベクトルを求めるには、まず $\vec{b}$ の大きさを計算する。

$||\vec{b}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

したがって、$\vec{a}$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ は、$\vec{b}$ をその大きさで割ることで得られる。単位ベクトルは正負の2つが存在する。

$\vec{e} = \pm \frac{\vec{b}}{||\vec{b}||} = \pm \frac{(2, -1)}{\sqrt{5}} = \pm (\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$

$\vec{e} = (\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$または$\vec{e} = (-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直である。

(2) $\vec{a} = (1, 2)$ に垂直な単位ベクトルは、$\vec{e} = (\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$または$\vec{e} = (-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$